آموزش معادلات دیفرانسیل در یک نگاه
اگر قصد دارید درس معادلات دیفرانسیل را برای امتحانات دانشگاه یا کنکور ارشد آموزش ببینید، باید بگوییم بررسی این مقاله نقطه عطف تصمیم شما خواهد شد. در این مقاله با تمام سرفصلهای معادلات دیفرانسیل و نحوه مطالعه آنها آشنا میشوید. همچین منابع فوقالعادهای معرفی میشود که میتوانید برای آموزش معادلات دیفرانسیل از آنها استفاده کنید.
آموزش معادلات دیفرانسیل در یک نگاه
قبل از آنکه روند آموزش معادلات دیفرانسیل را بررسی کنیم باید بدانیم که یک معادله دیفرانسیل چیست و چگونه دسته بندی میشود. وقتی رابطهای بین یک تابع و مشتقات آن میبینید با یک معادله دیفرانسیل روبهرو هستید. به عنوان مثال معادله زیر را در نظر بگیرید.
[latex]\frac{dy}{dx}=y[/latex]در این معادله یک رابطه بین تابع y و مشتق آن وجود دارد. بنابراین یک معادله دیفرانسیل است. اما مجهول این معادله چیست؟ در این معادله به دنبال تابعی هستیم که حاصل مشتق آن برابر با خودش میشود. اگر کمی فکر کنید میتوانید تابعی پیدا کنید که این ویژگی را داشته باشد. در مجموعه توابعی که میشناسیم تابعهای نمایی چنین ویژگیای را دارند. بنابراین جواب این معادله است.
فکر میکنید معادله فوق جواب دیگری هم دارد؟ میدانیم ضریب ثابت در مشتق تأثیر ندارد. بنابراین هر مضربی از [latex]{{e}^{x}}[/latex] نیز جوابی از معادله است و تا اینجا [latex]y=c{{e}^{x}}[/latex] مجموعه جوابهایی از معادله بالا بودند که توانستیم حدس بزنیم (توجه کنید که c یک ضریب ثابت دلخواه است).
همیشه حدس جواب در معادلات دیفرانسیل ساده نیست و باید روشهایی را به کار ببریم که حل آنها را ممکن کند. مسلماً برای ارائه راهکار باید اول این معادلات را دسته بندی کنیم. در معادله دیفرانسیلی که بررسی کردیم تنها مشتق مرتبه اول وجود داشت اما همیشه اینطور نیست. در بعضی از معادلات مشتقات مرتبه بالاتر هم وجود دارد. بنابراین یک روش دستهبندی معادلات دیفرانسیل بر اساس بالاترین مرتبه مشتقی است که در آنها میبینیم و به آن مرتبه معادله میگوییم. مثلا معادله دیفرانسیل [latex]y={{c}{1}}{{y}{1}}+{{c}{2}}{{y}{2}}+{{y}_{p}}[/latex]یک معادله مرتبه دوم است زیرا بالاترین مشتق موجود در آن از مرتبه دوم است.
فصل اول: معادلات دیفرانسیل مرتبه اول در یک نگاه
فصل اول برای آموزش معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است. شما در این فصل با روشهای حل معادلات مرتبه اول آشنا میشوید. ایده کلی در تمامی این روشها یکسان است. توجه کنید که در یک معادله مرتبه اول تنها مشتق مرتبه اول وجود دارد و اگر بتوانید از معادله انتگرال بگیرید همه چیز تمام میشود. بنابراین محاسبه انتگرال خود یک مهارت کلیدی است و شما باید در صورت ضعف به فکر آموزش انتگرال باشید.
معادلات دیفرانسیل فصل اول به ترتیب زیر هستند:
- معادله جداییپذیر
- معادله همگن و تک خطی که به معادله جدایی پذیر تبدیل میشوند
- معادله دو خطی که به معادله همگن تبدیل میشود
- معادله کامل
- معادله غیر کامل که به کامل تبدیل میشود
- معادله خطی مرتبه اول
- معادله برنولی که به خطی تبدیل میشود
- معادلات قابل تجزیه که به 7 نوع قبلی تبدیل میشود
اگر به لیست بالا دقت کنید بعضی از معادلات به عنوان معادله دیفرانسیل مادر هستند و باقی معادلات به آنها تبدیل میشوند. بنابراین معادلات کلیدی که باید حل آنها را بلد باشید، معادله دیفرانسیل جداشدنی، معادله دیفرانسیل کامل و معادله خطی مرتبه اول هستند. در ادامه در مورد حل این معادلات دیفرانسیل کلیدی صحبت میکنیم.
همانطور که گفتیم ایده کلی برای حل یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول انتگرالگیری از آن است. اگر به طریقی بتوانید معادله را به دیفرانسیلهای f(x)dx و g(y)dy تفکیک کنید میتوانید مستقیما از آن انتگرال بگیرید و به جواب عمومی برسید. به فرایند تفکیک x و y، جداسازی متغیرها و به معادلهای که این قابلیت را دارد معادله دیفرانسیل جداشدنی یا جدایی پذیر میگوییم.
آموزش معادلات دیفرانسیل جداشدنی به صورت رایگان در سایت ما قرار گرفته است.
بعضی از معادلات دیفرانسیل به گونهای هستند که نیازی به مرتبسازی ندارند و شما میتوانید بدون هیچگونه عملیات اضافی از آنها انتگرال بگیرید. به چنین معادلاتی معادله دیفرانسیل کامل گفته میشود. چالش اصلی در حل این معادلات تشخیص نوع آنهاست وگرنه تکنیک انتگرالگیری از آنها بسیار ساده است. اگر یک معادله دیفرانسیل را به فرم زیر مرتب کنیم میتوانیم تشخیص دهیم کامل است یا خیر.
$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$
کافیست شرط را بررسی کنیم. اگر برقرار باشد معادله دیفرانسیل کامل است و ما میتوانیم از آن انتگرال بگیریم. در سایت ما آموزش معادله دیفرانسیل کامل قرار گرفته که در نوع خودش بینظیر است.
اگر شرط
[latex]{{M}{y}}={{N}{x}}[/latex]در معادله برقرار نباشد، به آن معادله دیفرانسیل غیر کامل میگوییم. در این حالت به دنبال عامل یا فاکتوری هستیم که با ضرب آن در معادله به یک معادله دیفرانسیل کامل برسیم. با توجه به اینکه بعد از ضرب این عامل معادله ما کامل و انتگرال پذیر میشود؛ به آن عامل انتگرالساز یا فاکتور انتگرال میگوییم. متاسفانه در حالت کلی نمیتوانیم فاکتور انتگرال یک معادله دیفرانسیل را پیدا کنیم و به همین خاطر بعضی از معادلاتِ غیر کامل بدون حل باقی ماندهاند.
معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول آخرین معادله کلیدی است که هر مهندسی باید حل آن را بداند. این نوع از معادله در مهندسی برق و مکانیک کاربرد زیادی دارد. مدارهای مرتبه اول و مسئله انتقال حرارت نمونهای از پدیدههایی هستند که به این معادله ختم میشوند. سادهترین تعریف از معادله خطی مرتبه اول این است که بتوانیم آن را به فرم زیر مرتب کنیم. هر فرم دیگر از معادله غیر خطی محسوب میشود.
$${y}’+p(x)y=q(x)$$
برای حل معادله خطی مرتبه اول فرمول مشخصی وجود دارد و شما میتوانید بدون دردسر جواب عمومی آن را پیدا کنید. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول در واقع یک معادله غیر کامل است که به کمک فاکتور انتگرال میتوانیم از آن انتگرال بگیریم. در شکل زیر روند حل این معادلات آمده است.
بعضی از معادلات را هم میتوانید به کمک تغییر متغیر مناسب به یک معادله خطی مرتبه اول تبدیل کنید؛ که دیگر قابل حل هستند. معادله برنولی جزو این دسته از معادلات قرار دارد که طراحان به آن علاقهمند هستند. اما همه سوالات کنکور کارشناسی ارشد و امتحانات دانشگاهی معادله برنولی نیست. چالش اصلی در حل اینگونه معادلات پیدا کردن تغییر متغیر مناسب است. برای غلبه بر این مشکل میتوانید از الگوریتم بلوکی که توسط مهندس علی مهدیان ابداع شده استفاده کنید.
مشکل اکثر دانشجویان با فصل اول چیست؟
دو چالش اساسی وجود دارد که به ترتیب عبارت است از:
تشخیص نوع معادله: بزرگترین چالش دانشجویان سر جلسه امتحان یا کنکور کارشناسی ارشد تشخیص نوع معادله است. از آنجا که هیچ وقت در صورت سوال نوع معادله گفته نمیشود دانشجو مجبور است لیست بلندبالایی از معادلات را بررسی کند تا به این نتیجه برسد که معادله مثلا برنولی یا کامل است و سپس اقدام به حل نماید.
انتگرال گیری: چالش دوم در حل سوالات این فصل انتگرالگیری است. آخرین مرحله در حل یک معادله دیفرانسیل، انتگرال گیری است. حال تصور کنید معادله دیفرانسیل را حل کردید و به مرحله انتگرال گیری رسیدید. واضح است که شما یک تست کنکور را به خاطر عدم مهارت در محاسبه انتگرال از دست خواهید داد.
فصل دوم: معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالاتر در یک نگاه
بیشتر تمرکز این فصل روی حل معادلات خطی است. در این قسمت از مقاله دیدگاه جدیدی را به شما آموزش میدهیم که بالاتر از کتب دانشگاهی و کنکوری است و به کمک آن قدرت حل هر تستی را خواهید داشت (به شرط داشتن زمان کافی). هر معادلهای که به فرم زیر مرتب شود یک معادله دیفرانسیل خطی است.
معادلاتی که به این فرم نیستند را غیرخطی مینامیم. معمولا سوالات کنکور و امتحانات دانشگاه از حالت خطی مرتبه دوم طرح میشود که فرم استاندارد آن به صورت زیر است.
$${y}”+p(x){y}’+q(x)y=R(x)$$
سادهترین حالت وقتی اتفاق میافتد که R(x)= 0 باشد. در این حالت، معادله را همگن مینامیم که معادلهای به صورت زیر است.
$${y}”+p(x){y}’+q(x)y=0$$
یک دیدگاه فوقالعاده برای درک معادله خطی این است که عبارت سمت چپ معادله را به صورت یک عملگر یا سیستم مانند زیر ببینیم.
ورودی سیستم فوق تابع y(x) است. خروجی نیز یک تابع بر حسب x به دست میآید. برای مثال معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن زیر را در نظر بگیرید.
[latex]{y}”-y=0[/latex]هدف، پیدا کردن جواب عمومی معادله است. یعنی میخواهیم تمام جوابهای ممکن را بیابیم؛ که در معادله فوق صدق میکنند. ابتدا معادله را به عنوان یک سیستم در نظر میگیریم و به ازای ورودیهای مختلف بررسی میکنیم. تابع هایی که به عنوان ورودی در طرف اول معادله جایگذاری میکنیم به ترتیب عبارت اند از:
[latex]{{e}^{-x}},\,\sin x,\,\,{{e}^{2x}},\,\,{{e}^{x}}\,[/latex]
همانطور که مشاهده میکنید خروجی سیستم به ازای بعضی از توابع صفر میشود و یا به عبارتی سیستم آن توابع را فیلتر میکند (تابعهای [latex]{{e}^{-x}},{{e}^{x}}[/latex] ). اما در توابع دیگر خروجی شبیه به ورودی است.
میدانیم این سیستم خطی است و این به این معناست که اگر ورودی را n برابر کنیم خروجی نیز n برابر میشود. به عبارتی اگر ورودی در هر عددی ضرب شود خروجی نیز در همان عدد ضرب خواهد شد. بنابراین هر مضرب دلخواهی از [latex]{{e}^{x}}[/latex] و در سیستم فوق خروجی صفر ایجاد میکند (خروجی صفر در هر عددی ضرب شود باز هم صفر است). به صورت شماتیک یعنی:
میدانیم اگر در سیستم خطی ورودیها را جمع کنیم خروجیها نیز جمع خواهد شد یعنی:
حال به معادله دیفرانسیل [latex]{y}”-y=0[/latex] برمیگردیم. این معادله دیفرانسیل را میتوانیم به صورت یک سیستم معکوس ببینیم. یعنی به ازای کدام ورودی، خروجی صفر حاصل میشود.
بنابراین
[latex]y={{c}{1}}{{e}^{x}}+{{c}{2}}{{e}^{-x}}[/latex]مجموعه جوابهای معادله است. آیا این معادله جواب دیگری دارد؟ دقت کنید که در جواب به دست آمده دو ثابت اختیاری وجود دارد و میدانیم جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم دو ثابت بیشتر ندارد. بنابراین به تمام جوابهای معادله رسیدیم.
اگر معادله دیفرانسیل داده شده غیر همگن باشد یک قدم به مراحل قبلی اضافه میشود. فرض کنید میخواهیم تمام جوابهای معادله زیر را پیدا کنیم.
[{y}”+p(x){y}’+q(x)y=R(x]در قدم اول تنها یک جواب از آن را پیدا میکنیم که به آن جواب خصوصی معادله میگوییم [({{y}_{p}})]
اگر پایه-جوابهای قسمت همگن را به ورودی اضافه کنیم خروجی تغییر نخواهد کرد زیرا پایه جوابها همیشه فیلتر میشوند. به شماتیک زیر توجه کنید.
بنابراین تمام جوابهای معادله ناهمگن یا جواب عمومی آن به این صورت است:
به عبارتی برای حل معادله ناهمگن مرتبه دوم شما باید 3 تابع ، [latex]{{y}_{2}}[/latex] و را به دست آورید. تقریبا تمام آموزش معادله دیفرانسیل در فصل دوم برای به دست آوردن این سه تابع است.
ایده کلی حل معادلات دیفرانسیل فصل دوم چیست؟
در ابتدای فصل دوم معادلات خطی با ضرایب ثابت بررسی میشوند. در حالت ناهمگن سه روش را برای محاسبه [latex]{{y}_{p}}[/latex] یاد خواهید گرفت که اسم آنها به ترتیب عبارتاند از:
حجم محاسبات به ترتیب از بالا به پایین بیشتر میشود اما چون شرایط استفاده از هر روش متفاوت است باید به تمام روشها مسلط باشید.
در حالتی که ضرایب معادله خطی متغیر باشد، 2 ایده کلی برای حل معادله وجود دارد. اولین ایده تبدیل معادله به یک معادله خطی جدید اما با ضرایب ثابت است. معادله کوشی-اویلر جزء معروفترین معادلات این دسته است. در اکثر مواقع در کنکور ارشد و امتحان دانشگاه از این معادله دیفرانسیل سوال طرح میشود.
اگر تغییر متغیر برای تبدیل معادله به ضرایب ثابت وجود نداشته باشد، از ایده دیگری استفاده میکنیم. در ایده دوم به دنبال تبدیل معادله به یک معادله مرتبه اول هستیم. به عبارتی میخواهیم مرتبه معادله را از 2 به 1 کاهش دهیم. این ایده به روش کاهش مرتبه معروف است. توجه کنید که در شرایط خاصی میتوانیم مرتبه معادله را کاهش دهیم.
فصل سوم: حل معادله به کمک سریها
فصل سوم در مورد حل معادله دیفرانسیل مرتبه دوم زیر است.
$${y}”+p(x){y}’+q(x)y=R(x)$$
معادلات خطی با ضرایب متغیر همیشه قابل حل نیستند. البته توجه کنید منظور از قابل حل نبودن این است که جواب عمومی معادله بر حسب توابعی که میشناسیم نیست. دقیقا مانند انتگرالهای که تابع اولیه ندارند و فقط حل عددی برای آنها ممکن است. در این گونه معادلات به جای اینکه به دنبال حل تحلیلی باشیم، به دنبال سری جواب میگردیم. این فرم از جواب را حل نیمه تحلیلی میگویند که با حل عددی در درس محاسبات عددی کاملا متفاوت است.
اجازه دهید برای درک تفاوت حل نیمه تحلیلی و حل عددی یک مثال ملموس از انتگرال بزنیم. میدانیم انتگرال زیر قابل حل نیست.
$$F(x)=\int_{0}^{x}{\frac{\sin t}{t}dt}$$
اگر هدف ما این باشد که مقدار انتگرال را به ازای x=1 به دست آوریم میتوانیم از روشهای عددی استفاده کنیم. حال اگر از ما بخواهند که مقدار انتگرال را به ازای عدد دیگری به دست آوریم باید مجدد همان الگوریتم عددی را اجرا کنیم و این ضعف روشهای عددی است.
روشهای نیمه تحلیلی از سریهای ریاضیمانند سری تیلور یا مک-لورن استفاده میکنند. مثلا میدانیم سری مک-لورن تابع سینوس به صورت زیر است.
$$\sin t=t-\frac{{{t}^{3}}}{3!}+\frac{{{t}^{5}}}{5!}-…$$
حال اگر این سری را در انتگرال مورد نظر جایگذاری کنیم داریم:
$$F(x)=\int_{0}^{x}{\frac{t-\frac{{{t}^{3}}}{3!}+\frac{{{t}^{5}}}{5!}-…}{t}dt}$$
[F(x)=\int_{0}^{x}{\left( 1-\frac{{{t}^{2}}}{3!}+\frac{{{t}^{4}}}{5!}-… \right)}dt]$$F(x)=x-\frac{{{x}^{3}}}{3\times 3!}+\frac{{{x}^{5}}}{5\times 5!}-…$$
شما دیگر میتوانید مقدار انتگرال را به ازای هر عددی که مایل هستید به دست آورید. مثلا اگر بخواهیم حاصل انتگرال را به ازای x = 1 به دست آوریم کافیست چند جمله اول سری را محاسبه کنیم.
$$F(x)=1-\frac{1}{3\times 3!}+\frac{1}{5\times 5!}-…$$
همانطور که مشاهده میکنید از جمله سوم به بعد اعداد بسیار کوچک هستند و شما میتوانید با تقریب دلخواه به مقدار انتگرال دست پیدا کنید. بنابراین خروجی حل نیمه تحلیلی یک سری ریاضی است.
همانطور که گفتیم دو ایده کلی برای حل معادله دیفرانسیل با ضرایب متغیر وجود دارد که ایده اول تبدیل به ضریب ثابت و ایده دوم کاهش مرتبه است. اگر استفاده از هیچ یک از این دو ایده ممکن نباشد ما از حل نیمه تحلیلی برای پیدا کردن جواب عمومی معادله استفاده میکنیم. توجه کنید که در این حالت جواب عمومی به صورت یک سری ریاضی خواهد بود.
پیشنیاز آموزش معادلات دیفرانسیل در فصل سوم
سری تیلور پیشنیاز اصلی برای آموزش حل معادلات دیفرانسیل به کمک سریها است. بنابراین اگر در محاسبات سری تیلور ضعیف هستید به شما توصیه میکنیم این ویدیو آموزشی کوتاه را تماشا کنید.
برای حل نیمه تحلیلی معادله دیفرانسیل ابتدا جواب را به صورت سری تیلور یا مک-لورن در نظر میگیریم و سپس در معادله جایگذاری میکنیم. با این کار ضرایب مجهول در سری تیلور جواب به دست میآیند.
بعضی از معادلات جواب به فرم سری تیلور ندارند. برای حل چنین معادلاتی از یک فرم سری جدید استفاده میشود که به سری فروبنیوس ( ) معروف است. هرچند ممکن اسم آن برایتان عجیب باشد، اما سری فروبنیوس صرفاً یک نسل بالاتر از سری تیلور است. اگر در سری تیلور عامل توانی ضرب کنیم به سری فروبنیوس تبدیل میشود. مثلا اگر سری مک-لورن به صورت زیر باشد،
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}{n}}{{x}^{n}}={{a}{0}}+{{a}{1}}x+{{a}{2}}{{x}^{2}}+…}$$
سری فروبنیوس به صورت زیر خواهد بود.
$${{x}^{r}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}{n}}{{x}^{n+r}}={{a}{0}}{{x}^{r}}+{{a}{1}}{{x}^{r+1}}+{{a}{2}}{{x}^{r+2}}+…}$$
در معادلاتی که جواب به فرم فروبنیوس دارند باید اول مقدار r را تعیین کرد و در مرحله بعد ارتباط بین ضرایب سری جواب مشخص شود. معمولا خواسته اصلی سوال در این فصل پیدا کردن یک رابطه بازگشتی بین ضرایب سری جواب است و اگر محاسبات آن را ببینید متوجه میشوید با راههای معمولی باید 2 صفحه محاسبات انجام دهید. این موضوع برای دانشجویانی که امتحان پایان ترم معادلات دیفرانسیل دارند به یک کابوس بدل شده است. برای محاسبه ضرایب در سری جواب 4 روش وجود دارد.
روش جایگذاری سری جواب در معادله دیفرانسیل بسیار حجیم و طولانی است. بنابراین در کنکور کارشناسی ارشد به هیچ عنوان نمیتوانید از آن استفاده کنید. روش مشتقات متوالی تنها وقتی کارایی دارد که خواسته سوال، پیدا کردن چند جمله اول باشد. اما اگر به دنبال پیدا کردن ضرایب توانهای بالاتر در سری باشید این روش دیگر کارایی ندارد و هزینه زمانی و محاسباتی بسیاری خواهد داشت.
روش لایپنیتس و جایگذاری جمله عمومی بسیار سریعتر هستند. متاسفانه روش لایپنیس محدودیتهایی دارد و برای تمام معادلات قابل استفاده نیست. اگر از کتابهایی استفاده میکنید که با این روش مسائل را حل میکنند بدانید که یک روش طلایی را از دست دادهاید.
روش جایگذاری جمله عمومی از محاسبات تِنسوری الهام گرفته شده که توسط مهندس علی مهدیان ابداع شده است. این روش کوتاهترین حجم محاسباتی را نسبت به 3 روش قبلی دارد و هیچگونه محدودیتی برای آن وجود ندارد. برای آشنایی با این روش و مقایسه آن با 3 روش دیگر به شما توصیه میکنیم مقاله کابوس شب امتحان پایان ترم را مطالعه کنید.
معادلاتی که در فصل سوم با آنها آشنا میشوید
در فصل سوم با 2 نوع معادله دیفرانسیل بسیار کاربردی در دنیای مهندسی مکانیک و برق آشنا میشوید. اولین معادله به معادله دیفرانسیل لژاندر معروف است. این نوع از معادله در حل مسئله موج و گرما در مختصات کروی کاربرد دارد. همواره یکی از پایه جوابهای این معادله چندجملهای است که به آن چند جملهای لژاندر گفته میشود. سوالاتی که بیشتر از این قسمت طرح میشوند در مورد خواص این چندجملهای هاست.
معادله دیفرانسیل دومی که در این فصل معرفی میشود معادله بسل است. یکی از جوابهای معادله بسل به فرم سری فروبنیوس است که به آن تابع بِسل نوع اول گفته میشود. سوالی که اغلب از معادله بسل طرح میشود مربوط به تغییر متغیر معادله است. در صورت سوال معادلهای به شما داده میشود که بسل نیست و شما باید با تغییر متغیر داده شده آن معادله را به بسل تبدیل کنید و سپس جواب آن را بر حسب توابع بسل به دست آورید.
توجه کنید که در کنکور کارشناسی ارشد تغییر متغیر به شما داده نمیشود. بنابراین شما مجبور هستید فرمولهای طولانی را حفظ کنید که به ذهن سپردن آنها تقریبا غیر ممکن است. ما در دوره آموزش معادلات دیفرانسیل به زبان ساده روشی را معرفی میکنیم که نیازی به حفظ فرمول نداشته باشید و در کمترین زمان به جواب برسید. از این روش میتوانید در امتحانات دانشگاه برای چک کردن جواب آخر خود استفاده کنید.
آخرین نوع سوالی که از معادله بسل میتواند طرح شود در مورد خواص تابع بسل است. در صورت سوال به شما انتگرالی شامل تابع بسل داده میشود. شما باید به کمک خواص و روش جزء به جزء انتگرال داده شده را بر حسب توابع بسل به دست آورید. چالش اصلی در اینگونه سوالات تشخیص خاصیت مناسب است.
فصل چهارم: آموزش تبدیل لاپلاس در یک نگاه
شاید تا به حال اصطلاح مسئله مقدار اولیه به گوشتان خورده باشد. اگر در یک معادله دیفرانسیل شرایط اولیه جواب معلوم باشد به آن مسئله مقدار اولیه میگوییم. مثلا در یک مسئله انتقال حرارت، دمای اولیه جسم به عنوان شرط اولیه است. در مسئله حرکت مکان اولیه و سرعت اولیه، شرایط اولیه جواب محسوب میشوند.
تبدیل لاپلاس یک ابزار قدرتمند برای حل مسئله مقدار اولیه است. وقتی ما از یک تابع مانند [latex]f(t)[/latex] در فضای زمان لاپلاس میگیریم، آن را به یک تابع جدید در فضای لاپلاس تبدیل میکنیم. در فضای لاپلاس توابع بر حسب هستند. از نظر مفهوم فضای لاپلاس چیزی شبیه به فرکانس است. تبدیل لاپلاس درواقع یک انتگرال است. در این انتگرال، تابع [latex]f(t)[/latex] در هسته [latex]{{e}^{-st}}[/latex]ضرب میشود و روی بازه صفر تا بینهایت انتگرال گرفته میشود. یعنی:
$$\int_{0}^{\infty }{f(t){{e}^{-st}}dt}$$
متغیرهایی که در این انتگرال وجود دارند s و t هستند. دقت کنید که انتگرال لاپلاس یک انتگرال معین است. اگر بتوانیم انتگرال را محاسبه کنیم، در جواب نهایی متغیر t وجود نخواهد داشت (به جای t صفر و بینهایت قرار میگیرد). به این ترتیب حاصل انتگرال تابعی بر حسب است. بنابراین ورودی تبدیل لاپلاس همیشه یک تابع بر حسب t و خروجی آن تابعی بر حسب s است. خروجی را با نمایش میدهند.
علامت تبدیل لاپلاس است. حال شاید این سوال برای شما پیش آید که این تبدیل چه سودی برای ما خواهد داشت. برای پاسخ به این سوال باید یک خاصیت از تبدیل لاپلاس را به شما معرفی کنیم. فرض کنید که لاپلاس تابع برابر شود. حال میخواهیم بدانیم که لاپلاس مشتق تابع چه ارتباطی با دارد. در شماتیک زیر این ارتباط مشخص شده است.
همانطور که مشاهده میکنید با یک مرتبه مشتق گیری از تابع در فضای زمان، یک مرتبه در تبدیل آن ضرب میشود و شرط اولیه تابع از آن کم میگردد. حال میخواهیم به کمک این خاصیت معادله دیفرانسیل زیر را به یک معادله بر حسب تبدیل کنیم.
فرض کنید جواب مسئله مقدار اولیه فوق باشد. اگر لاپلاس آن را با نمایش دهیم، حاصل تبدیل [latex]{y}'(t)[/latex] به صورت زیر خواهد شد.
حال مجدد از تابع [latex]{y}'(t)[/latex] یک مرتبه دیگر مشتق میگیریم. مشخص است که تبدیل آن نیز یک مرتبه دیگر در ضرب میشود. اما باید شرط اولیه تابع [latex]{y}'(t)[/latex] را نیز از آن کم کنیم.
حال میتوانیم به راحتی تبدیل لاپلاس معادله دیفرانسیل داده شده را به دست آوریم. برای این کار باید به جای هر ترم تبدیل آن را قرار دهیم.
اگر به معادله جدید دقت کنید متوجه میشوید که یک معادله جبری است به عبارتی به کمک تبدیل لاپلاس معادله دیفرانسیل داده شده به یک معادله جبری تبدیل شده است.
بنابراین میتوانیم به راحتی حاصل را از معادله جدید به دست آوریم و به نتیجه زیر برسیم.
حال اگر بتوانیم تبدیل لاپلاس را به صورت معکوس انجام دهیم به جواب معادله دیفرانسیل یعنی تابع میرسیم. به این کار محاسبه لاپلاس معکوس میگویند.
بنابراین در آموزش لاپلاس در معادلات دیفرانسیل دو مهارت کلیدی وجود دارد.
- محاسبه تبدیل لاپلاس
- محاسبه تبدیل معکوس
چه سوالاتی از فصل لاپلاس طرح مشود؟
به طور کلی سوالات این فصل را میتوان به سه دسته تقسیم کرد. دسته اول سوالاتی هستند که در آن تابع داده شده و از ما میخواهند تبدیل لاپلاس آن را محاسبه کنیم. دسته دوم حالت عکس است. یعنی تابع به ما داده شده و باید تابع را به دست آوریم. اما دسته سوم مربوط به کاربرد تبدیل لاپلاس در حل معادله دیفرانسیل است.
اهمیت تبدیل لاپلاس در کاربردهای مهندسی برق و مکانیک بیشتر در دسته سوم خلاصه شده است. شما باید از مهارت تبدیل لاپلاس در حل سوال مدار در مهندسی برق و یا حل مسئله ارتعاشات در مهندسی مکانیک استفاده کنید. بنابراین توصیه میکنیم به این درس تنها به دید یک درس از معادلات دیفرانسیل نگاه نکنید.
